Implementação de uma formulação não singular do Método Integral de Contorno aplicado ao escoamento de gotas

Abstract

Este trabalho trata do escoamento na escala das gotas de emulsões diluídas. Nessa situação, o escoamento pode ser considerado livre dos efeitos de inércia, e as equações governantes são as equações de Stokes. O Método Integral de Contorno é aplicado às equação de Stokes e utilizado para determinar o campo de velocidade sobre a superfície da gota. Esse procedimento é descrito em detalhes, tanto do ponto de vista teórico quanto de sua implementação numérica. Todavia, o método baseia-se em integrais de superfície que envolvem funções de Green singulares, apresentando grandes erros numéricos quando os cálculos são realizados nas proximidades do ponto de singularidade. Nesse contexto, apresenta-se uma formulação não singular para o campo de velocidade sobre a superfície de gotas de razões de viscosidades arbitrárias. Essa formulação baseia-se em integrais de linha e permanece regular mesmo quando o campo de velocidade é calculado exatamente sobre o ponto de singularidade. Além disso, a formulação não singular apresenta solução analítica para contornos formados por segmentos de reta. O procedimento de discretização da superfície da gota, o cálculo de seu vetor normal e curvatura, bem como o processo de evolução temporal e relaxação da malha também são descritos em detalhes. Teorias assintóticas de primeira ordem do número de capilaridade e da razão de viscosidades são apresentadas para prever a deformação e orientação das gotas. Como forma de validar a nova formulação, o fluxo de massa líquido através da superfície da gota é calculado numericamente considerando as duas formulações e os resultados são comparados os resultados teóricos associados a um escoamento incompressível. Além disso, medidas de deformação da gota também são calculadas considerando as duas formulações para o campo de velocidade. Nesse caso, os resultados numéricos são comparados com as previsões teóricas e resultados experimentais disponíveis na literatura. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

This work deals with the flow in the scale of the drops of diluted emulsions. In this case, the flow can be considered free of the inertia effects, and the governing equations are the Stokes’ equations. The Boundary Integral Method is applied to the Stokes’ equations and is used to determinate the velocity field on the drop surface. The theoretical and numerical aspects of this procedure are described in details. The method is based on surface integral involving singular Green functions, presenting large numerical errors when the calculations are performed near to the point of singularity. In this context, it presents a non singular formulation for the velocity field over the surface of any viscosity ratio drops. This formulation is based on contour integrals e remains regular even when the calculations are performed exactly over the singularity point. Moreover, the non singular formulation has analytic solution for line segments contours. The procedure of discretization of the drop surface, the calculation of its normal vector and curvature, and the process of temporal evolution and relaxation of the mesh are also described in details. First-order asymptotic theories of capillary number and viscosity ratio are presented to predict the deformation and orientation of the drops. In order to validate the new formulation, the total mass flow through the surface of the drop is calculated considering both formulations and the results are compared to theoretical results associated with an incompressible flow. Furthermore, measures of the deformation of the drop are also calculated considering the two formulations for the velocity field. In this case, the numerical results are compared with theoretical predictions and experimental results available in the literature.