Implementação de diferentes métodos iterativos para a resolução de sistemas lineares com aplicação em mecânica dos fluidos

Abstract

O presente trabalho estuda e compara diversos métodos iterativos de resolução de sistemas de equa- ções lineares aplicados na solução do problema da cavidade na mecânica dos fluidos. Os métodos abordados vão desde métodos simples como Jacobi e Gauss-Seidel, até métodos mais avançados como o Gradiente Conjugado Pré-condicionado e o Multigrid. Os diversos métodos iterativos são aplicados para várias malhas com diferentes graus de refinamento e são comparados em termos de número de iterações necessárias para resolver o problema e tempos de execução dos códigos. As equações governantes do problema da cavidade são apresentadas, bem como a transformação das mesmas, que são originalmente equações diferenciais parciais, em um sistema de equações lineares através do método de projeção e do método de diferenças finitas. A implementação dos métodos iterativos é feita através do Python, uma linguagem de programação muitas vezes considerada lenta para esse propósito. Por ser lenta, uma otimização é implementada à linguagem para ace- lerar a velocidade de execução dos códigos através da biblioteca Numba. Uma comparação entre os tempos de execução obtidos no Python otimizado será feita com códigos equivalentes executa- dos em Fortran, que é considerada uma linguagem rápida para esse tipo de aplicação. De uma forma geral, o método do Gradiente Conjugado Pré-condicionado se mostrou o mais rápido dentre todos os métodos testados nesse trabalho, seguido do Multigrid e do Gradiente Conjugado sem pré-condicionamento. Em relação à linguagem de programação utilizada, o Python, conseguiu- se acelerar consideravelmente seu tempo de execução dos códigos com a utilização da biblioteca Numba, tornando-o comparável com o Fortran, especialmente no sistema operacional Windows.