Categorias, teorias topológicas de campos e computação quântica topológica

Abstract

Neste projeto discutiremos a ferramenta matemática da teoria de categorias e suas aplicações na teoria quântica de campos topológicas. Essas teorias podem ser vistas como um funtor monoidal simétrico com uma categoria de cobordismos para a categoria de espaços vetoriais. Para tanto analisamos uma descrição da equação fundamental da teoria quântica de campos escrita em termos de invariantes topológicos e definida sobre os cobordismos, que são os morfismos da categoria nCob. Aproveitamos para analisar o caso específico das teorias quânticas de campos bidimensionais pois temos invariantes topológicos e geométricos que caracterizam as superfícies bidimensionais de forma que conseguimos uma equivalência entre a categoria das álgebras de Frobenius com a categoria das teorias quânticas de campos topológicas. Em três dimensões essas teorias são podem ser classificadas por categorias monoidais modulares. Avaliamos uma poderosa técnica de calculo gráfico que nos facilita trabalhar com as categorias, que podem ser utilizadas como uma generalização dos diagramas de Feynman. O método é introduzido junto da estrutura algébrica necessária para descrever-lo. Como uma Aplicação mais concreta de todos os conceitos desenvolvidos revisamos no final alguns resultados sobre computação quântica topológica, como a sua viabilidade através de modelos de anyons não abelianos, que teoricamente podem ser obtidos em sistemas de Hall quânticos fracionais (apesar dessas partículas ainda não terem sido diretamente observadas em laboratório), nesses sistemas tiramos vantagem do fato a Hamiltoniana do sistema H ≡ 0 e portanto toda a informação contida no sistema pode ser muito bem preservada e “processada” via um processo de trançamento das quase-partículas do sistema e no final fundimos essas quase-partículas de volta para lermos o resultado dessa simulação de um sistema quântico regido por uma TQCT.