Estudo do estabelecimento da invariância de calibre do eletromagnetismo, o acoplamento mínimo e o desenvolvimento de Kaluza-Klein

Abstract

Neste trabalho iremos continuar a investigar como se dá a tentativa de unificar o eletromagnetismo com a gravitação utilizando uma dimensão extra seguindo o esquema de Kaluza-Klein (KK). Recapitularemos a história do estabelecimento da invariância de calibre no eletromagnetismo e na mecânica quântica, assim como o acoplamento mínimo, com o proposito de entender as razões desses desenvolvimentos. Na segunda parte seguiremos para o estudo do esquema de Kaluza-Klein, derivando as equações de movimento dalagrangiana gerada pela métrica de KK, as equações de movimento na forma covariante e as hamiltonianas para ambos os casos. Comparamos os resultados com o acoplamento mínimo, ou seja, com a força de Lorentz, obtendo para a carga elétrica uma relação como 4-potencial eletromagnético e com o momento linear da dimensão extra do esquema de KK. Então calcula-se as respectivas hamiltonianas para as lagrangianas. Com isso escrevemos uma equação de Klein-Gordon estendida, para a métrica de KK. No último capítulo incluímos, na métrica de KK, o campo escalar conhecido como dilaton. Calculando as equações de movimento, com o dilaton dependente do espaço tempo 4D, surge uma dependência local da carga devido ao campo dilaton. Isso tem como consequência gerar um eletromagnetismo que é dependente do espaço tempo, através do campo dilaton. Calculamos a hamiltoniana e comparamos com os resultados das seções anteriores. Por fim, escrevemos a versão covariante da lagrangiana e a respectiva hamiltoniana.