Matrizes hierárquicas e a aproximação cruzada adaptativa

Abstract

Este trabalho apresenta diferentes ferramentas utilizadas para a implementação de um algoritmo rápido para solucionar problemas de condução de calor bidimensionais, utilizando o Método dos Elementos de Contorno (BEM). O algoritmo rápido inclui a representação da matriz por matrizes hierárquicas, o que envolve a análise de componentes principais (PCA) para a divisão dos dados, a utilização de uma árvore binária e a clusterização hierárquica para organização e agrupamento dos dados, respectivamente, e a aproximação dos blocos de matrizes por matrizes de baixo posto utilizando o método da aproximação cruzada adaptativa (ACA). O algoritmo rápido ainda inclui a resolução do problema matricial 𝑯̃ 𝑥=𝑏, onde 𝑯̃ é uma matriz Hierárquica, por métodos iterativos. Deste modo, são apresentados e comparados diferentes método iterativos para a solução do problema. É também apresentado uma rotina implementada na linguagem de programação Julia, formado por diversas sub-rotinas, as quais incluem a construção da Matrizes Hierárquica e a aplicação do método ACA para o cálculo de suas componentes. Esse projeto de graduação também inclui uma discussão sobre as limitações e implicações da aplicação do método ACA, assim como inclui uma análise da rotina de programação utilizada. Por fim, é apresentado os resultados obtidos do uso da memória e tempo para a solução de diferentes problemas, em escala, de condução de calor.