Geração de parâmetros de domínio de curvas elípticas para uso em criptografia

Abstract

Curvas elípticas são belas e interessantes estruturas matemáticas. Possuem uma grande importância na Teoria dos Números, sendo usada, por exemplo, na prova do último Teorema de Fermat, na fatoração de inteiros e na criptografia. Seu uso em criptografia, descoberto em 1985, possibilitou a criação de uma alternativa às ferramentas já existentes, oferecendo uma série de vantagens em relação a seus concorrentes. Um ponto fundamental no uso de curvas elípticas é a escolha de seus parâmetros de domínio, que definem não só a forma da curva como também algumas propriedades que são úteis quando usadas em criptografia. Existem diversas especificações para a geração de curvas elípticas, cada uma delas buscando atender a uma demanda específica, indo de sistemas embarcados a sistemas bancários. O objetivo deste trabalho é mostrar todos os principais conceitos matemáticos que são empregados no processo de criação de curvas elípticas, explorar algoritmos já existentes e que já estão em uso e implementar um algoritmo para gerar tais parâmetros. ___________________________________________________________________________ ABSTRACT

Elliptic curves are beautiful and interesting mathematical structures. They have a great importance in number theory, being used, for example, in the test Fermat’s Last Theorem, in integer factorization and encryption. Its use in encryption, discovered in 1985, enabled the creation of new alternative to existing tools, offering a number of advantages in relation to its competitors. A key point in the use of elliptic curves is the choice of the domain parameters that define not only the shape of the curve but also some properties that are useful when used in cryptography. There are several specifications for elliptic curves generation, each one seeking to meet a specific cenario, ranging from embedded systems to banking system. The objective of this work is to show all major mathematical concepts which are employed in the creation process of elliptic curves, explore algorithms already existing and already in use and implement an algorithm to generate these parameters.